1.
Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga
jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10
Jawab
:
Karena jumlah angka
pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama dan angka
terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Untuk (1,9)
a.
Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91
b.
Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)
c.
Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0
sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang
sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga jumlahnya adalah 80.
Total jumlah semua
bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena satu
bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)
Sehingga
keseluruhannya adalah 182 angka.
Dengan cara yang sama
kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6),
dan (5,5)
Dan akhirnya kita
akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :
182 + 182 + 182 + 182
+ 91 = 819 (ingat : pasangan
(5,5) hanya dihitung sekali saja)
2.
Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42
+ 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 +
20112
Jawab
:
12 – 22
dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 32 – 42
dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya.
Sehingga bentuk
tersebut dapat diubah menjadi :
-1. -2, -3, -4, -5,
-7, … , -2009, -2010, 20112 , atau :
- (1 + 2 + 3 + 4 + …
+ 2009 + 2010) + 20112
- ½ x 2010 x 2011 +
20112
2011 (-1005 + 2011)
2011 x 1006 = 2023066
3.
Manakah yang merupakan bilangan prima ?
1111 – 11,
77 – 7,
55 – 5,
33 – 3,
22 – 2
Jawab
:
1111 – 11
= 11 (1110 – 1)
⟾
bukan prima (bisa dibagi 11)
77 – 7 = 7
(76 –
1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
55 – 5 = 5
(54 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
33 – 3 = 3
(32 –
1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
22
– 2 = 2 (2 – 1) =
2
⟾ prima
4.
Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120
Jawab
:
FPB 4 berarti bersama
yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22
KPK 120 berarti
faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23 . 3 . 5,
Maka pasangan
bilangannya adalah
22 dengan
23 . 3 . 5 ⟾
4 dengan 120
22 . 3
dengan 23 . 5 ⟾
12 dengan 40
22 . 5
dengan 23 . 3 ⟾
20 dengan 24
22 . 3. 5
dengan 23 ⟾ 60 dengan 8
5.
Berapa digit satuan dari 17103 + 5?
Jawab
:
Karena yang diminta
hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir
dari 7103
Jika kita urutkan
mulai dari 71, 72, 73, 74, dan
seterusnya, maka kita akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3,
1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1
Dan jika kita
tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8,
6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6
Yang artinya untuk
pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1,
maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa
3, maka angka satuanya 6
Dan karena pangkatnya
103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6
6.
Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali.
Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga
selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil
Jawab
:
Karena kedua bilangan
berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil
adalah 11111
Yang salah satunya
dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh
dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.
7.
Jika 1998 = psqtru, dengan p, q, dan r
bilangan prima, hitunglah p + q + r + s + t + u?
Jawab
:
1998 = 2. 33.
37
Sehingga p + q + r +
s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47
8.
Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2
– 2) juga merupakan bilangan bulat positif
Jawab :
Karena 2002 = 2. 7.
11. 13, maka m2 – 2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau
hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.
Dan yang memenuhi m
sebagai bilangan bulat positif adalah :
m2 – 2 =
2, dengan m = 2
m2 – 2 =
7, dengan m = 3
m2 – 2 =
14, dengan m = 4
9.
Tentukan sisa pembagian 132011 oleh 10
Jawab
:
Karena dibagi 10,
maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan tersebut. Dan untuk
mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari
32011.
Untuk itu perhatikan
pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35,
… sebagai berikut :
3, 9, 7, 1, 3, 9, 7,
1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1
Karena 2011/4 = 502
bersisa 3, maka sebagaimana pada pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan
angka satuannya adalah 1
Berarti sisa
pembagianya adalah 1
10.
Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M. Tentukan N, jika M +
N = 118.
Jawab
:
Misalkan N adalah
bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b sebagai digit
satuan
M = ab
N = 10a + b
M + N = 118
ab + 10a + b = 118
karena a dan b
adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat positif mulai dari 0 hingga 9
dan a tidak nol, maka kita tinggal mencari mana yang cocok.
Jika a = 1,
maka b = 45
⟾
tidak cocok
Jika a = 2,
maka b = 32,67 ⟾
tidak cocok
Jika a = 3,
maka b = 22
⟾
tidak cocok
Jika a = 4,
maka b =
15,6 ⟾
tidak cocok
Jika a = 5,
maka b = 11,33 ⟾
tidak cocok
Jika a = 6,
maka b =
8,28 ⟾
tidak cocok
Jika a = 7,
maka b = 6
⟾
cocok
Maka N adalah 76
0 komentar:
Posting Komentar